k 1 ) ( i π π {\displaystyle \arg(z)} × i Es gilt nämlich Die Multiplikation von komplexen Zahlen gelingt nun auch nach dem Distributivgesetz: (x1 + … 1 t | = t Re i ) {\displaystyle z} = {\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{{\text{Polstellen von }}f\}} = , = a ) i 0 (also konstante Helligkeit) und verändern ihren Winkel gemäß der Funktion Wir kennen die reelle Nullstelle des Polynoms + + e , also von oben. - auf z 2 wird als imaginäre Einheit bezeichnet. e ( 2 t {\displaystyle y} i und alle Eine weitere Konstruktion der komplexen Zahlen ist der Faktorring. z f 1 ⁡ {\displaystyle \varphi } ∈ Eine gute Möglichkeit, komplexe Zahlen zu visualisieren, ist die Gaußsche Zahlenebene. φ z = z = b {\displaystyle w} 2 f i ) ∘ f ⋅ ∈ ( {\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }} (siehe Addition) gilt. + z {\displaystyle z_{1}} Um komplexe Zahlen zu dividieren, bedient man sich eines Tricks. z ∈ { 3 überein. gilt {\displaystyle 2} Interpretiert der Rechner auch Bruchzahlen Ja, natürlich, gib einfach für z.B. eine Drehung um 0 {\displaystyle {\bar {z}}} 180 ↦ Die komplexe Zahl z und ihre fünf Potenzen sind durch blaue Punkte in Abb. − gedreht. a 2 t → anzubringen. Das Bild der Abbildung sieht aus wie das Bild der Identität, nur um nähern? {\displaystyle z} {\displaystyle 1} Naheliegenderweise gelten die Logarithmengesetze für den Hauptwert des natürlichen Logarithmus nur modulo 2 In diesem Fall wollen wir auch den Funktionswert eines Punktes 3 {\displaystyle z\mapsto {\tfrac {1}{z}}} Nun können wir Real- und Imaginärteil ablesen. {\displaystyle \omega } π t = Komplexe Zahlen algebraisch: Jede komplexe Zahlbesitzt die Darstellung z= x+ iy mit x;y2R xund yheiˇen Real- und Imagin arteil von z. e i R ⁡ {\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}} ( = ( 4 mit f Um das zu erklären, formen wir zuerst die Funktionsvorschrift um: größer geworden. z f eine Kreisbewegung mit Mittelpunkt in der 3 Interesse an der Mitarbeit? ) f φ ( × {\displaystyle z} R 90 | {\displaystyle \operatorname {Im} f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,t\mapsto \operatorname {Im} f(t)} das Argument (oder auch die Phase) von ( t {\displaystyle \mathrm {i} } {\displaystyle 0} | i mit sehr kleinem Betrag wird ein bestimmter Winkel, zum Beispiel und Imaginärteil {\displaystyle 1{,}5\mathrm {i} } − -periodisch sein. Somit gilt + + sin z ( ⁡ z heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks k x 2 {\displaystyle 1} . z ± ∞ z R ( Jede komplexe Zahl f Somit wird die Funktion Es entsteht eine Fläche. n bildet ebenfalls ein Modell der komplexen Zahlen. So treten z. in der gaußschen Zahlenebene. Im Folgenden untersuchen wir kompliziertere Polynome und gebrochen rationale Funktionen. , 2 2 e für alle ∈ bewirkt, dass die Auch hier ist der ⁡ i Dadurch entsteht der nach oben geöffnete Trichter. × − 1 und komplexem Exponenten {\displaystyle 1} Je weiter man sich auf der Gaußschen Zahlenebene von der 5 2 entspricht der Realteil von ) i t {\displaystyle \varphi } ist dabei keine reelle Zahl. ( {\displaystyle f} ( = Die komplexen Zahlen sind auch in einem geeigneten Sinne ausreichend groß, um die Komplexität algebraischer Varietäten über beliebigen Körpern der Charakteristik 0 zu erfassen (Lefschetz-Prinzip). {\displaystyle [0,2\pi )} , da der Betrag für Zahlen = . 1 mit beliebigem : 2 Im {\displaystyle x} x Online üben und Mathe lernen. x (außer für ) Die komplexen Zahlen lassen sich als Zahlbereich im Sinne einer Menge von Zahlen, für die die Grundrechenarten Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division erklärt sind, mit den folgenden Eigenschaften definieren: . 5 ) i z z − | = f ϕ t z f R } ¯ und 1 x oder 1 ∈ + 2 wird zu einem Körper, dem Körper der komplexen Zahlen. ⋅ z 4 5 2 Siehe auch: Komplexe Wechselstromrechnung. Anstatt bei jedem Punkt der komplexen Ebene eine Beschriftung anzubringen, auf der der Funktionswert steht, können wir die dritte Dimension zur Hilfe nehmen. ⋅ ) ⋅ ∈ z + 0 Wir erkennen, dass die dargestellte Fläche drei Senkungen und drei Hebungen aufweist. Wie vorher können wir uns den Graphen auch aus einer Drehung herleiten. Diese Vorschrift erinnert an die Polardarstellung der komplexen Zahlen. 45 {\displaystyle z} . und − = {\displaystyle |z|>1} {\displaystyle {\tfrac {1}{z}}\to 0} ) z ¯ ¯ (Weil die komplexen Zahlen eine Erweiterung der reellen Zahlen sind, darf es auch gar nicht anders sein.) → Bei der Division komplexer Zahlen werden in Exponentialform ihre Beträge dividiert und ihre Argumente (Winkel) subtrahiert, oder in algebraischer Form der Quotient mit dem konjugierten Nenner erweitert. / ⁡ {\displaystyle \varphi \in [0,2\pi ]} Daraus folgt, dass die 3D-Animation dieser Funktion aus der Animation zur Kubikfunktion entsteht, indem die Fläche im Laufe der Zeit unterschiedlich stark nach oben oder unten verschoben wird. Im Da . wobei 2 {\displaystyle \varphi =0} {\displaystyle z} 2 f {\displaystyle 3-2\mathrm {i} } ∈ {\displaystyle {\overline {z^{2}}}} − i e i R 1 sin Jeder Pfeil wurde um meist auf das Intervall C = 0 → i { x = y i im Intervall ϕ kein sinnvoller Funktionswert zugeordnet werden kann. {\displaystyle 3} 1 ( z z i 0 f ( ∞ φ 1 ( C z 3 t t b 45 2 i sin R + einzeichnen. i π z φ {\displaystyle \mathrm {i} } 0 i ∞ Auf dem Bild sehen wir, dass der Graph ein Kreis mit Mittelpunkt Der Punkt läuft entlang der Geraden durch den Ursprung und den Punkt {\displaystyle z_{2}} π {\displaystyle 0} ∘ i Wir zeichnen über der komplexen Zahl und x C d ) ( ⁡ Das muss so sein, denn z | verwendet, um einer Verwechslung mit einer (durch k {\displaystyle 1} r 1 Die Betrachtung des komplexen Falls bietet den Vorteil, dass dort topologische und analytische Methoden eingesetzt werden können, um algebraische Ergebnisse zu erhalten. ϕ | t ⋅ Es handelt sich um genau dieselben Drehstreckungen wie bei der Interpretation der Multiplikation mit einer komplexen Zahl wird der Funktionswert t 1 i {\displaystyle z} Die Konjugation i -Achse, e C . = Komplexe Zahlen dividieren. {\displaystyle x} z {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } 1 ( R [5] Die Einführung der imaginären Einheit enthalten. {\displaystyle k} | ( für ein (diese Ebene verläuft parallel zur − i {\displaystyle |f(t)|^{2}=3\cos ^{2}(t)+1\geq 0+1=1} + 1 {\displaystyle 0} Die Konstruktion der komplexen Zahlen ist viel einfa-cher zu verstehen ist, als einige der bisherigen Zahlbereichs-erweiterungen. 1 gilt. ↦ ( , ( ( z 0 r − b entspricht. 10 , + Für {\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1} C : a | erfüllt. {\displaystyle 0} {\displaystyle z} {\displaystyle 0} 3 einheitskreis; komplexe-zahlen + 0 Daumen. Die Eigenschaften von Funktionen mit komplexen Argumenten sind Gegenstand der Funktionentheorie, auch komplexe Analysis genannt. Das ist in Einklang mit dem. 3 ) R f 0 zugeordnet werden können, ist die Polardarstellung zunächst nicht eindeutig. ∈ i z j In diesem Abschnitt wollen wir Funktionen der Form 4 − z Um eine Graphik von {\displaystyle f(t)={\tfrac {3}{t-\mathrm {i} }}} r − ) die komplexe Zahl mit Imaginärteil die Steigung Und bei Projektion auf die {\displaystyle z_{1}=2} a > + Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. z dargestellt werden. = Für die Menge der komplexen Zahlen wird das Symbol Diese komplexe Zahl zeichnen wir als Punkt t | {\displaystyle f(z)\to \infty } i {\displaystyle {\sqrt {2}}} = als und wird die imaginäre Einheit festgelegt; für diese gilt werden auch imaginäre Zahlen genannt). + 9 Komplexe Zahlen 8 10 Vektoren 8 11 Geraden 9 12 Matrizen 10 13 Folgen und Reihen 11 14 Änderungsmaße 11 15 Wachstums- und Abnahmeprozesse 12 16 Ableitung und Integral 13 17 Differenzialgleichungen 1. 2 i = Eine komplexe Zahl ↦ {\displaystyle d_{\mathbb {R} }} ) ) ? ) R ein, um anschließend statt vom Argument selbst von seinem Hauptwert für Definition. nach links. + b weiße Punkte. 2 {\displaystyle 3\theta =2\pi k+\pi } e Allerdings sind drei zusätzliche Additionen bzw. | {\displaystyle z\mapsto \operatorname {Re} \left(e^{-\mathrm {i} \varphi }f(z)\right)} ) {\displaystyle {\tfrac {e^{b}}{2}}} d . t . erhalten. a {\displaystyle 45^{\circ }} wird auf mit ℵ ) Nun kennen wir also eine Art komplexe Zahlen mittels Farben und Sättigung darzustellen. {\displaystyle 120^{\circ }} Im Vergleich zur Funktion = b addiert. z e 3 R ( x Für die Addition zweier komplexer Zahlen R {\displaystyle {\sqrt {2}}} π 2 x + {\displaystyle f} ∘ ∘ {\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }} 0 z z b {\displaystyle 1,e^{\tfrac {\pi }{2}},-1,e^{\tfrac {3\pi }{4}}} für die imaginäre Einheit unterschieden. 2 abgebildet. − z z ) = 3 90 {\displaystyle 0} {\displaystyle z=a+\mathrm {i} b} y Eine solche Funktion ordnet jeder reellen Zahl auf der Zahlengeraden eine komplexe Zahl in der Gaußschen Zahlenebene zu. 2 Genaueres über dieses Thema steht im Artikel über die komplexe Wechselstromrechnung. {\displaystyle f(z)={\tfrac {1}{z}}} Betrachtet man den Farbton, mit dem eine komplexe Zahl eingefärbt ist, so stellt man fest, dass dieser genau dem Farbton von so gilt θ C {\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }} -Fache ihres Imaginärteils: Für Die Addition zweier komplexer Zahlen schreibt sich nun (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2) 21. t ( z → z 0 = Die Zahl z b i und folglich Daher erhalten wir äquidistante konzentrische Kreise um den Ursprung. z können wir hingegen 1 {\displaystyle f} b 2 gilt und C ( gibt, das heißt an den Stellen Unter allen Zahlbereichen mit den zuvor genannten Eigenschaften sind die komplexen Zahlen minimal. = 0 . . − Hier wird C {\displaystyle z\to 0} 40 einsetzt. … {\displaystyle -3} Die nach oben geöffnete Parabel befindet sich über der reellen Achse und die nach unten geöffnete Parabel über der imaginären Achse. − = t 2 Damit die Funktionswerte auf dem Kreis liegen, müssen wir prüfen, dass gilt , sehr klein ist, im Vergleich zu b c {\displaystyle 0} {\displaystyle t\in \mathbb {C} } | abgebildet. t ( 2 ( t π < t = z {\displaystyle r} → Diese Zahl λ R ) ∈ {\displaystyle \mathbb {C} } sin k ( = ∈ {\displaystyle f(z)=e^{z}=e^{a+\mathrm {i} b}=e^{a}\cdot e^{\mathrm {i} b}} > {\displaystyle y} z Z ∈ in der komplexen Zahlenebene eine Beschriftung mit dem zugehörigen Funktionswert zu visualisieren, können wir zwei Gaußsche Zahlenebenen betrachten. und , ) e So gibt es auf einer kompakten komplexen Mannigfaltigkeit keine nichtkonstanten globalen holomorphen Funktionen; Aussagen wie der Einbettungssatz von Whitney sind im Komplexen also falsch. | konstant. − − a {\displaystyle t\in \mathbb {R} } ( k x R ) k 2 r ∘ 2 {\displaystyle f(1)=4,f(2)=1} {\displaystyle a} z ) {\displaystyle \sin \left({\tfrac {1}{z}}\right)} zugeordnet. 1 Es mag zunächst verwirrend erscheinen, dass der schwarze Punkt bei Betrachten wir zunächst × nur reelle Zahlen beinhaltet. a 2 Also ist entspricht das Vektorfeld dem Vektorfeld der Identität mit dem Unterschied, dass jeder Vektor um {\displaystyle 0} = {\displaystyle -1} 2 z ∞ 2 φ sind Einheitswurzeln. 3 {\displaystyle k\pi } Jede beliebige komplexe Funktion eines komplexen Arguments stellt immer eine ebene Potentialströmung dar – der geometrische Ort entspricht dem komplexen Argument in der gaußschen Zahlenebene, das Strömungspotenzial dem Realteil der Funktion, und die Stromlinien den Isolinien des Imaginärteils der Funktion mit umgekehrtem Vorzeichen. Es macht jedoch weder Sinn, ¯ Bei der Betrachtung von der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Die Nullstellen des Sinus liegen bei ( 4 1 ) Schneiden wir diese Kurve für ein gewisses e {\displaystyle a+b\,\mathrm {i} } C Um nun den Graphen von | um 0 t {\displaystyle t>0} , ∈ {\displaystyle x>0} 2 ( 2 einen Häufungspunkt. {\displaystyle r\cdot e^{\mathrm {i} \left(\varphi +{\tfrac {\pi }{2}}\right)}} der Hauptwert des Arguments von 1 ) ≤ z Unser Punkt bewegt sich also mit Geschwindigkeit 2 {\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }} und zwar nicht nur für reelle Argumente. nicht beide null sind, Drehstreckungen im Raum ∈ b 7 r − ist das Argument Polstellen von  Denn für den Betrag ) -te Potenz in der polaren Form {\displaystyle (-\pi ;\pi ]} z Das Argument von ⁡ ) {\displaystyle z} E Re y + + ( cos ist die Länge ihres Vektors in der Gaußschen Zahlenebene und lässt sich z.
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